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LeetCode-面试题49-丑数

我们把只包含因子 2、3 和 5 的数称作丑数(Ugly Number)。求按从小到大的顺序的第 n 个丑数。

示例1:

输入: n = 10
输出: 12
解释: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12 是前 10 个丑数。

说明:

  1. 1 是丑数。
  2. n 不超过1690。

解题思路

这个题暴力破解的解法很耗时,就是循环判断一个数是否能被2,3,5整除,如果都能,则最后的因子是1,就说明这是丑数,外层还需要一个n的循环,非常耗时。更好的解法如下

三指针:

问题分析:一个丑数只有2,3,5这3个因子,1也是丑数,那么基本的3个丑数就可以由1*2、1*3、1*5得到,而其他的丑数也可以由2、3、5的乘积得到,这样问题就转化为了一个类似DP的问题,最小的问题是2、3、5,大一点的问题是乘以2、3、5得到的丑数。

由于需要从小到大的顺序排列n个丑数,所以怎么去保持丑数的顺序很重要

在每次计算出基于2、3、5的3个丑数时,始终把最小的丑数添加进dp[i]中

之后谁的结果最小,就移动那个指针

如果第i个丑数==2xp2,也就是说前面0-p2个丑数*2不可能产生比第i个丑数更大的丑数了,所以p2++

p3,p5同理

一个更好理解的例子源于https://leetcode-cn.com/u/sunrise-9/

丑数的排列肯定是1,2,3,4,5,6,8,10.... 然后有一个特点是,任意一个丑数都是由小于它的某一个丑数*2,*3或者*5得到的,那么如何得到所有丑数呢? 现在假设有3个数组,分别是: A:{1*2,2*2,3*2,4*2,5*2,6*2,8*2,10*2......}

B:{1*3,2*3,3*3,4*3,5*3,6*3,8*3,10*3......}

C:{1*5,2*5,3*5,4*5,5*5,6*5,8*5,10*5......}

那么所有丑数的排列,必定就是上面ABC3个数组的合并结果然后去重得到的,那么这不就转换成了三个有序数组的无重复元素合并的问题了吗?而这三个数组就刚好是{1,2,3,4,5,6,8,10....}乘以2,3,5得到的。

合并有序数组的一个比较好的方法,就是每个数组都对应一个指针,然后比较这些指针所指的数中哪个最小,就将这个数放到结果数组中,然后该指针向后挪一位。

回到本题,要求丑数ugly数组中的第n项,而目前只知道ugly[0]=1,所以此时三个有序链表分别就只有一个元素:

A : {1*2......}

B : {1*3......}

C :{1*5......}

假设三个数组的指针分别是i,j,k,此时均是指向第一个元素,然后比较A[i],B[j]和C[k],得到的最小的数A[i],就是ugly[1],此时ugly就变成{1,2}了,对应的ABC数组就分别变成了:

A : {1*2,2*2......}

B : {1*3, 2*3......}

C :{1*5,2*5......}

此时根据合并有序数组的原理,A数组指针i就指向了下一个元素,即'2*2',而j和k依然分别指向B[0]和C[0],然后进行下一轮合并,就是A[1]和B[0]和C[0]比较,最小值作为ugly[2].....如此循环n次,就可以得到ugly[n]了。

此外,注意到ABC三个数组实际上就是ugly[]*2,ugly[]*3和ugly[]*5的结果,所以每次只需要比较A[i]=ugly[i]*2,B[j]=ugly[j]*3和C[k]=ugly[k]*5的大小即可。然后谁最小,就把对应的指针往后移动一个,为了去重,如果多个元素都是最小,那么这多个指针都要往后移动一个。

Java代码

class Solution {
    public int nthUglyNumber(int n) {
        int p2=0,p3=0,p5=0; // 想象初始化3个有序链表的第一个元素,分别为2、3、5为基数乘的数组
        int[] dp = new int[n];
        dp[0] = 1;
        for(int i=1;i<n;i++){
            // 返回的下一个丑数应该是*2,*3,*5之后的最小丑数
            dp[i] = Math.min(dp[p2]*2,Math.min(dp[p3]*3,dp[p5]*5));
            if(dp[i]==dp[p2]*2) p2++;
            if(dp[i]==dp[p3]*3) p3++;
            if(dp[i]==dp[p5]*5) p5++;
        }
        return dp[n-1];
    }
}



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