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二叉搜索树

特点

二叉搜索树,有如下特点:

  1. 若它的左子树不为空,则左子树上所有的节点值都小于它的根节点值
  2. 若它的右子树不为空,则右子树上所有的节点值均大于它的根节点值
  3. 它的左右子树也分别可以充当为二叉查找树
    例如
二叉搜索树

优点

二叉搜索树的优点:能够快速找到想要查找的值。
以查找数值为14的节点为例,由于二叉搜索树的特性,我们可以很快找到它,其查找过程如下:

  1. 和根节点9比较
二叉搜索树2
  1. 由于14>9,所以14只可能存在于9的右子树中,因此查看右孩子13
二叉搜索树3
  1. 由于14>13,所以继续查看13的右孩子15
二叉搜索树4
  1. 由于14<15,所以14只可能存在于15的左孩子中,因此查找15的左孩子14
二叉搜索树5
  1. 这时候发现14正是自己查找的值,于是查找结束
    这种查找二叉树的方式正是二分查找的思想,可以很快的找到目标节点,查找所需的最大次数等于二叉搜索树的高度。

在插入的时候也是一样,通过一层一层的比较,最后找到适合自己的位置。

缺点

二叉搜索树具有什么缺陷呢?
假设初始的二叉搜索树只有三个节点:

二叉搜索树6

然后我们按照顺序陆续插入节点4、3、2、1、0。插入之后的结构如下:

二叉搜索树7

可以观察到,所有的节点都倾向于一边了,当出现这种情况时,二叉搜索树在查找的性能就大打折扣,几乎变成线性了。

平衡二叉搜索树(AVL树)

为了解决二叉搜索树的缺点,平衡二叉树被提出

特点

其具有如下特点:

  1. 具有二叉搜索树的全部特性
  2. 每个节点的左子树和右子树的高度差至多等于1
    例如:下图就是一颗AVL树
二叉搜索树8

而这张图中的则不是AVL树(节点右边的数字为节点的高度)

二叉搜索树9

对于上图而言,节点9的左孩子高度为2,而右孩子高度为0,他们之间的差值超过了1。AVL树可以保证不会出现大量节点偏向一边的情况。

左旋和右旋

听起来AVL树还不错,但思考一下,如果我们要插入一个节点3,按照查找二叉树的特性,我们只能把3作为节点4的左子树插进去,可是插进去之后,又会破坏了AVL树的特性,那我们那该怎么弄?
在这之前,先了解一下左旋和右旋的概念。
右旋:
我们在进行节点插入的时候,可能会出现节点都倾向于左边的情况,例如

二叉搜索树10

我们把这种倾向于左边的情况称之为左-左型。这个时候,我们就可以对节点9进行右旋操作,使它恢复平衡。

二叉搜索树11

即:顺时针旋转两个节点,使得父节点被自己的左孩子取代,而自己成为自己的右孩子
再举个例子:

二叉搜索树12

节点4和9高度相差大于1。由于是左孩子的高度较高,此时是左-左型,进行右旋

二叉搜索树13

这里要注意,节点4的右孩子成为了节点6的左孩子了
用一个动图示例:

二叉搜索树14gif

左旋:
左旋和右旋一样,就是用来解决当大部分节点都偏向右边的时候,通过左旋来还原。例如:

二叉搜索树14

我们把这种倾向于右边的情况称之为右-右型

二叉搜索树15gif

详细示例

以一个具体实例详细讲解:
假设二叉树初试状态如下:

二叉搜索树15png

我们逐渐插入如下数值:1,4,5,6,7,10,9,8

插入1

二叉搜索树16png

此时为左-左型,需要右旋调整

二叉搜索树17png

插入4

二叉搜索树18png

继续插入5

二叉搜索树19png

此时为右-右型,需要左旋调整

二叉搜索树20png

继续插入6

二叉搜索树21png

右-右型,需要进行左旋

二叉搜索树22png

继续插入7

二叉搜索树23png

右-右型,需要进行左旋

二叉搜索树24png

继续插入10

二叉搜索树25png

继续插入9

二叉搜索树26png

出现了这种情况应该怎么办呢?对于这种右-左型的情况,单单一次左旋或右旋是不行的,下面我们先说说如何处理这种情况。

二叉搜索树27png

这种类型我们把他成为右-左型,处理方式是先对节点10进行右旋把它变成右-右型

二叉搜索树28png

然后再进行左旋

二叉搜索树29png

所以对这种右-左型的,我们需要进行一次右旋再左旋,依次类推,左-右型需要进行一次左旋再右旋,与右-左型相反

二叉搜索树30png

回到刚才那道题

二叉搜索树26png

对它进行右旋再左旋

二叉搜索树31png

到此,节点的插入结束

总结

在插入的过程中,会出现一下四种情况破坏AVL树的特性,我们可以采取如下相应的旋转。

  1. 左-左型:做右旋。
  2. 右-右型:做左旋。
  3. 左-右型:先做左旋,后做右旋。
  4. 右-左型:先做右旋,再做左旋。

代码示例

//定义节点
class AvlNode {
   int data;
   AvlNode lchild;//左孩子
   AvlNode rchild;//右孩子
   int height;//记录节点的高度
}

//在这里定义各种操作
public class AVLTree{
   //计算节点的高度
   static int height(AvlNode T) {
       if (T == null) {
           return -1;
       }else{
           return T.height;
       }
   }

   //左左型,右旋操作
   static AvlNode R_Rotate(AvlNode K2) {
       AvlNode K1;

       //进行旋转
       K1 = K2.lchild;
       K2.lchild = K1.rchild;
       K1.rchild = K2;

       //重新计算节点的高度
       K2.height = Math.max(height(K2.lchild), height(K2.rchild)) + 1;
       K1.height = Math.max(height(K1.lchild), height(K1.rchild)) + 1;

       return K1;
   }

   //进行左旋
   static AvlNode L_Rotate(AvlNode K2) {
       AvlNode K1;

       K1 = K2.rchild;
       K2.rchild = K1.lchild;
       K1.lchild = K2;

       //重新计算高度
       K2.height = Math.max(height(K2.lchild), height(K2.rchild)) + 1;
       K1.height = Math.max(height(K1.lchild), height(K1.rchild)) + 1;

       return K1;
   }

   //左-右型,进行右旋,再左旋
   static AvlNode R_L_Rotate(AvlNode K3) {
       //先对其孩子进行左旋
       K3.lchild = R_Rotate(K3.lchild);
       //再进行右旋
       return L_Rotate(K3);
   }

   //右-左型,先进行左旋,再右旋
   static AvlNode L_R_Rotate(AvlNode K3) {
       //先对孩子进行左旋
       K3.rchild = L_Rotate(K3.rchild);
       //在右旋
       return R_Rotate(K3);
   }

   //插入数值操作
   static AvlNode insert(int data, AvlNode T) {
       if (T == null) {
           T = new AvlNode();
           T.data = data;
           T.lchild = T.rchild = null;
       } else if(data < T.data) {
           //向左孩子递归插入
           T.lchild = insert(data, T.lchild);
           //进行调整操作
           //如果左孩子的高度比右孩子大2
           if (height(T.lchild) - height(T.rchild) == 2) {
               //左-左型
               if (data < T.lchild.data) {
                   T = R_Rotate(T);
               } else {
                   //左-右型
                   T = R_L_Rotate(T);
               }
           }
       } else if (data > T.data) {
           T.rchild = insert(data, T.rchild);
           //进行调整
           //右孩子比左孩子高度大2
           if(height(T.rchild) - height(T.lchild) == 2)
               //右-右型
               if (data > T.rchild.data) {
                   T = L_Rotate(T);
               } else {
                   T = L_R_Rotate(T);
               }
       }
       //否则,这个节点已经在书上存在了,我们什么也不做
       
       //重新计算T的高度
       T.height = Math.max(height(T.lchild), height(T.rchild)) + 1;
       return T;
   }
}



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