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01背包问题详解

问题描述:

给定 n 件物品,物品的重量为 w[i],物品的价值为 c[i]。现挑选物品放入背包中,假定背包能承受的最大重量为 V,问应该如何选择装入背包中的物品,使得装入背包中物品的总价值最大?

输入:

4 4
1 1500
4 3000
3 2000
1 2000

输出:

4000

解释:输入的第一行n,W分别代表接下来有n组输入数据,背包的总容量为W;在接下来的n行中,每一行2个数字,分别表示为wi和vi,代表第n个物品的重量和价值。


参考链接

https://www.jianshu.com/p/a66d5ce49df5

https://www.cnblogs.com/kkbill/p/12081172.html

https://blog.csdn.net/chanmufeng/article/details/82955730

动态规划类的问题,最重要的是如何去定义状态,找到问题的子问题,从而定义出状态转移方程。背包问题是一类经典的动态规划题目,01背包问题是其中最为基础的一个。本文结合多个题解,给出01背包问题的直观解释,以及多种求解方法的代码实现。

01背包问题的另一种风格描述

假设你是一个小偷,背着一个可装下4磅东西的背包,你可以偷窃的物品如下:

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为了让偷窃的商品价值最高,你该选择哪些商品?

暴力解法

最简单的算法是:尝试各种可能的商品组合,并找出价值最高的组合。

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这样显然是可行的,但是速度非常慢。在只有3件商品的情况下,你需要计算8个不同的集合;当有4件商品的时候,你需要计算16个不同的集合。每增加一件商品,需要计算的集合数都将翻倍!对于每一件商品,都有选或不选两种可能,即这种算法的运行时间是O(2ⁿ)。

动态规划

解决这样问题的答案就是使用动态规划!下面来看看动态规划的工作原理。动态规划先解决子问题,再逐步解决大问题。

对于背包问题,你先解决小背包(子背包)问题,再逐步解决原来的问题。

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比较有趣的一句话是:每个动态规划都从一个网格开始。 (所以学会网格的推导至关重要,而有些题解之所以写的不好,就是因为没有给出网格的推导过程,或者说,没有说清楚为什么要”这样“设计网格。本文恰是解决了我这方面长久以来的困惑!)

背包问题的网格如下:

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网格的各行表示商品,各列代表不同容量(1~4磅)的背包。所有这些列你都需要,因为它们将帮助你计算子背包的价值。

网格最初是空的。你将填充其中的每个单元格,网格填满后,就找到了问题的答案!

1. 吉他行

后面会列出计算这个网格中单元格值得公式,但现在我们先来一步一步做。首先来看第一行。

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这是吉他行,意味着你将尝试将吉他装入背包。在每个单元格,都需要做一个简单的决定:偷不偷吉他?别忘了,你要找出一个价值最高的商品集合。

第一个单元格表示背包的的容量为1磅。吉他的重量也是1磅,这意味着它能装入背包!因此这个单元格包含吉他,价值为1500美元。

下面来填充网格。

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与这个单元格一样,每个单元格都将包含当前可装入背包的所有商品。

来看下一个单元格。这个单元格表示背包容量为2磅,完全能够装下吉他!

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这行的其他单元格也一样。别忘了,这是第一行,只有吉他可供你选择,换而言之,你假装现在还没发偷窃其他两件商品。

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此时你很可能心存疑惑:原来的问题说的是4磅的背包,我们为何要考虑容量为1磅、2磅等得背包呢?前面说过,动态规划从子问题着手,逐步解决大问题。这里解决的子问题将帮助你解决大问题。

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别忘了,你要做的是让背包中商品的价值最大。这行表示的是当前的最大价值。它指出,如果你有一个容量4磅的背包,可在其中装入的商品的最大价值为1500美元。

你知道这不是最终解。随着算法往下执行,你将逐步修改最大价值。

2. 音响行

我们来填充下一行——音响行。你现在处于第二行,可以偷窃的商品有吉他和音响。

我们先来看第一个单元格,它表示容量为1磅的背包。在此之前,可装入1磅背包的商品最大价值为1500美元。

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该不该偷音响呢?

背包的容量为1磅,显然不能装下音响。由于容量为1磅的背包装不下音响,因此最大价值依然是1500美元。

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接下来的两个单元格的情况与此相同。在这些单元格中,背包的容量分别为2磅和3磅,而以前的最大价值为1500美元。由于这些背包装不下音响,因此最大的价值保持不变。

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背包容量为4磅呢?终于能够装下音响了!原来最大价值为1500美元,但如果在背包中装入音响而不是吉他,价值将为3000美元!因此还是偷音响吧。

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你更新了最大价值。如果背包的容量为4磅,就能装入价值至少3000美元的商品。在这个网格中,你逐步地更新最大价值。

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3. 笔记本电脑行

下面以同样的方式处理笔记本电脑。笔记本电脑重3磅,没法将其装入1磅或者2磅的背包,因此前两个单元格的最大价值仍然是1500美元。

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对于容量为3磅的背包,原来的最大价值为1500美元,但现在你可以选择偷窃价值2000美元的笔记本电脑而不是吉他,这样新的最大价值将为2000美元。

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对于容量为4磅的背包,情况很有趣。这是非常重要的部分。当前的最大价值为3000美元,你可不偷音响,而偷笔记本电脑,但它只值2000美元。

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价值没有原来高,但是等一等,笔记本电脑的重量只有3磅,背包还有1磅的重量没用!

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在1磅的容量中,可装入的商品的最大价值是多少呢? 你之前计算过!

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根据之前计算的最大价值可知,在1磅的容量中可装入吉他,价值1500美元。因此,你需要做如下的比较:

image-20200825155055030

你可能始终心存疑惑:为何计算小背包可装入的商品的最大价值呢?但愿你现在明白了其中的原因!当出现部分剩余空间时,你可根据这些子问题的答案来确定余下的空间可装入哪些商品。笔记本电脑和吉他的总价值为3500美元,因此偷它们是更好的选择。

最终的网格类似于下面这样。

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答案如下:将吉他和笔记本电脑装入背包时价值更高,为3500美元。

你可能认为,计算最后一个单元格的价值时,我使用了不同的公式。那是因为填充之前的单元格时,我故意避开了一些复杂的因素。其实,计算每个单元格的价值时,使用的公式都相同。这个公式如下。

![image-20200825155126003](https://image-1-1257237419.cos.ap-chongqing.myqcloud.com/img/image-20200825155126003.png)

你可以使用这个公式来计算每个单元格的价值,最终的网格将与前一个网格相同。现在你明白了为何要求解子问题了吧?——因为你可以合并两个子问题的解来得到更大问题的解。

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4. 等等,再增加一件商品将如何变化呢?

假设你发现还有第四件商品可偷——一个iPhone!(或许你会毫不犹豫的拿走,但是请别忘了问题的本身是要拿走价值最大的商品)

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此时需要重新执行前面所做的计算吗?不需要。别忘了,动态规划逐步计算最大价值。到目前为止,计算出的最大价值如下:

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这意味着背包容量为4磅时,你最多可偷价值3500美元的商品。但这是以前的情况,下面再添加表示iPhone的行。

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我们还是从第一个单元格开始。iPhone可装入容量为1磅的背包。之前的最大价值为1500美元,但iPhone价值2000美元,因此该偷iPhone而不是吉他。

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在下一个单元格中,你可装入iPhone和吉他。

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对于第三个单元格,也没有比装入iPhone和吉他更好的选择了。

对于最后一个单元格,情况比较有趣。当前的最大价值为3500美元,但你可以偷iPhone,这将余下3磅的容量。

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3磅容量的最大价值为2000美元!再加上iPhone价值2000美元,总价值为4000美元。新的最大价值诞生了!

最终的网格如下

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现在回到问题本身,给定n个重量为w1,w2,w3,....,wn,价值为v1,v2,v3,...,vn的物品和容量为W的背包,问应该如何选择装入背包中的物品,使得装入背包中的物品的总价值最大?每个物品只能使用一次(01背包特点)

依然用上文的3个物品为例,物品的重量weight[]={1,3,1},对应的价值为value[]={15,30,20},现挑选物品放入背包中,假定背包的最大重量W=4

dp[i][w] 表示前 i 件物品放入容量为 w 的背包中可获得的最大价值。为了方便处理,我们约定下标从 1 开始。初始时,网格如下:

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根据之前已经引出的状态转移方程,我们再来理解一遍,对于编号为 i 的物品:

  • 如果选择它,那么,当前背包的最大价值等于” i 号物品的价值“ 加上 ”减去 i 号物品占用的空间后剩余的背包空间所能存放的最大价值“,即dp[i][k] = value[i] + dp[i-1][k-weight[i]]
  • 如果不选择它,那么,当前背包的价值就等于前 i-1 个物品存放在背包中的最大价值,即 dp[i][k] = dp[i-1][k]

dp[i][k] 的结果取两者的较大值,即:

dp[i][k] = max(value[i] + dp[i-1][k-weight[i]], dp[i-1][k])

DP代码实现如下

动态规划+二维数组:

public class Package_01 {
    public static void main(String[] args) {
        int[] weights = {1, 4, 3, 1};
        int[] value = {1500, 3000, 2000, 2000};
        int W = 4;
        System.out.println(maxValue(weights, value, W));
    }

    public int maxValue(int[] weight, int[] value, int W) {
        int n = weight.length;
        if (n == 0) return 0;

        int[][] dp = new int[n][W + 1];
        // 先初始化第 0 行,也就是尝试把 0 号物品放入容量为 k 的背包中
        for (int k = 1; k <= W; k++) {
            if (k >= weight[0]) dp[0][k] = value[0];
        }

        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int k = 1; k <= W; k++) {
                // 存放 i 号物品(前提是放得下这件物品)
                int valueWith_i = (k-weight[i] >= 0) ? (value[i] + dp[i-1][k-weight[i]]) : 0;
                // 不存放 i 号物品
                int valueWithout_i = dp[i-1][k];
                dp[i][k] = Math.max(valueWith_i, valueWithout_i);
            }
        }
        return dp[n-1][W];
    }
}

时间复杂度:O(nW);空间复杂度O(nW)

动态规划+压缩空间:

观察上面的代码,会发现,当更新dp[i][..]时,只与dp[i-1][..]有关,也就是说,我们没有必要使用O(n*W)的空间,而是只使用O(W)的空间即可。下面先给出代码,再结合图例进行说明。

public int maxValue(int[] weight, int[] value, int W) {
    int n = weight.length;
    if (n == 0) return 0;
    // 辅助空间只需要O(W)即可
    int[] dp = new int[W + 1];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 注意这里必须从后向前!!!
        for (int k = W; k >= 1; k--) {
            int valueWith_i = (k - weight[i] >= 0) ? (dp[k - weight[i]] + value[i]) : 0;
            int valueWithout_i = dp[k];
            dp[k] = Math.max(valueWith_i, valueWithout_i);
        }
    }
    return dp[W];
}

这里的状态转移方程变成了:dp[k](新值) = max(value[i]+dp[k-weight[i]](旧值), dp[k](旧值))

为什么说这里必须反向遍历来更新dp[]数组的值呢?原因是索引较小的元素可能会被覆盖。我们来看例子,假设我们已经遍历完了第 i=1 个元素(即weight=3, value=30),如下图所示:

image-20200825163404982

现在要更新第 i=2 个元素(即weight=1, value=20),由于我们只申请了一维空间的数组,因此对dp[]数组的修改会覆盖上一轮dp[]数组的值,这里用浅色代表上一轮的值,深色代表当前这一轮的值

image-20200825163445617

鉴于上面出现的问题,因此必须采用反向遍历来回避这个问题。仍然假设第 i=1 个元素已经更新完毕,现在更新第 i=2 个元素。示意图如下:

image-20200825163509043

可以看到,反向遍历就可以避免这个问题了!

事实上,我们还可以进一步简化上面的代码,如下:

public int maxValue(int[] weight, int[] value, int W) {
    int n = weight.length;
    if (n == 0) return 0;
    int[] dp = new int[W + 1];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        //只要确保 k>=weight[i] 即可,而不是 k>=1,从而减少遍历的次数
        for (int k = W; k >= weight[i]; k--) {
            dp[k] = Math.max(dp[k - weight[i]] + value[i], dp[k]);
        }
    }
    return dp[W];
}

为什么可以这样简化呢?我们重新看一下这段代码:

for (int k = W; k >= 1; k--) {
    int valueWith_i = (k - weight[i] >= 0) ? (dp[k - weight[i]] + value[i]) : 0;
    int valueWithout_i = dp[k];
    dp[k] = Math.max(valueWith_i, valueWithout_i);
}

如果k>=weight[i] 不成立,则valueWith_i 的值为0,那么显然有:

dp[k] = Math.max(valueWith_i, valueWithout_i) = max(0, dp[k]) = dp[k] 

也就是dp[k]没有更新过,它的值还是上一轮的值,因此就没必要执行了,可以提前退出循环!

递归代码实现

这类问题同样可以采用递归的方式来解决

我们用F(n,W)表示将前n个物品放进容量为W的背包中,得到的最大的价值

我们用自顶向下的角度来看,假如我们已经进行到了最后一步(即求解将n个物品放到背包里获得的最大价值),此时我们便有两种选择

  1. 不放第n个物品,此时总价值为F(n-1,W)
  2. 放置第n个物品,此时总价值为vn+F(n-1,W-wn)

两种选择中总价值最大的方案就是我们的方案,转移方程为:

                F(i,W) = max(F(i-1,W),vi+F(i-1,W-wi))

编程实现如下:

public class Solution {
    public static void main(String[] args) {
        int[] weights = {1, 4, 3, 1};
        int[] value = {1500, 3000, 2000, 2000};
        int W = 4;
        int index = weights.length - 1;
        System.out.println(maxValue3(weights, value, index, W));
    }

    private static int maxValue3(int[] weights, int[] value, int index, int W) {
        // 如果索引无效或者容量不足,直接返回当前价值0
        if (index < 0 || W <= 0) {
            return 0;
        }
        // 不放第index个物品所得价值
        int res = maxValue3(weights, value, index - 1, W);
        // 放第index个物品所得价值(前提是:第index个物品可以放得下)
        if (weights[index] <= W) {
            res = Math.max(res, value[index] + maxValue3(weights, value, index - 1, W - weights[index]));
        }
        return res;
    }
}

记忆化搜索

递归的代码可以很清晰的对照转移方程,不过因为重复计算太多,递归基本上会超时,效率十分低下

我们可以将已经求得的子问题的结果保存下来,这样对子问题只会求解一次,这便是记忆化搜索。在递归的代码基础上,进行改进

public class Solution {

    private static int[][] memo;

    public static void main(String[] args) {
        int[] weights = {1, 4, 3, 1};
        int[] value = {1500, 3000, 2000, 2000};
        int W = 4;
        int index = weights.length - 1;
        memo = new int[weights.length][W + 1];
        System.out.println(maxValue4(weights, value, index, W));
    }

    private static int maxValue4(int[] weights, int[] value, int index, int W) {
        // 如果索引无效或者容量不足,直接返回当前价值0
        if (index < 0 || W <= 0) {
            return 0;
        }
        // 如果此子问题已经求解过,则直接返回上次求解的结果
        if (memo[index][W] != 0) {
            return memo[index][W];
        }

        // 不放第index个物品所得价值
        int res = maxValue4(weights, value, index - 1, W);
        // 放第index个物品所得价值(前提是:第index个物品可以放得下)
        if (weights[index] <= W) {
            res = Math.max(res, value[index] + maxValue4(weights, value, index - 1, W - weights[index]));
        }
        // 添加子问题的解,便于下次直接使用
        memo[index][W] = res;
        return res;
    }
}



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