LeetCode-62-不同路径

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

示例1：

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例2：

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

解题思路

方法1、动态规划：

这道题是个经典的动态规划问题，初始化矩阵大小的dp数组保存数字，由于只能往右或者往下走所以第1行和第1列都是1

dp[i][j]状态定义为：有多少条路径到i，j这一格

状态转移方程：

• 当i==0或者j==0时，dp[i][j]=1
• 其余位置，dp[i][j]的值依赖于左边位置的路径+上边位置的路径，即dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

最后返回右下角的值即可

方法2、动态规划(空间优化)：

由于每格的值仅与左侧和上方的值有关，所以只需要维护一行的值即可，空间复杂度可以降到O(N)

Java代码1

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[n][m];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < m; j++) {
                if (i == 0 || j == 0) {
                    dp[i][j] = 1;
                } else {
                    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
                }
            }
        }
        return dp[n - 1][m - 1];
    }
}

Java代码2

class Solution {
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[] dp = new int[m];
        Arrays.fill(dp, 1);
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            for (int j = 1; j < m; j++) {
                dp[j] += dp[j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1];
    }
}